30.3.12

¿Por qué esa fórmula para el resultado de una ecuación cuadrática?

He tenido ganas de hacer un curso online de matemáticas. Hay demasiadas cosas que a los niños se les enseña sin un sentido detrás, de manera que se lo aprendan de memoria. ¿Cómo aprenderse algo si no saben el por qué? La idea es que sepan las razones de lo que se les enseña y un ejemplo de esto es la clásica solución de una ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática es algo que a todos nosotros nos enseñaron en el colegio. Es aquella que tiene la incognita - generalmente "x" - elevada al cuadrado. La forma de expresarla es la siguiente:



a, b y c pueden representar cualquier número y la enseñanza que siempre nos dijeron fue que el resultado para este tipo de ecuaciones era:



Si se fijan bien, por tener un + y un - dentro de la solución, existen dos resultados para dicha ecuación cuadrática (y esto es porque "x" está elevado a 2). ¿Pero cómo aprenderme ese resultado si no tengo ni idea de dónde proviene?

La ecuación cuadrática - o también llamada "de segundo grado" - se puede simplificar dividiendo todo el conjunto por "a". Sabemos que podemos dividir por "a" ya que este número es distinto de 0 (cero), ya que si lo fuera, este 0 multiplicaría a la incognita al cuadrado anulando este elemento, por lo cual ya no sería una ecuación cuadratica. Dado lo anterior, nos resulta lo siguiente:



Identificando a "b/a" como "m" y a "c/a" como "n" (solo reemplazamos esos valores para ahorrarnos letras), la ecuación quedaría de la siguiente forma:
Si pasamos la n hacia el lado del 0 y sumamos a ambos lados de la ecuación, esta nos quedaría de la siguiente forma:



El elemento del lado izquierdo es un cuadrado de binomio el cual podemos simplificar:



Y como nuestro objetivo es despejar nuestra incognita "x", aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.



De esta forma, pasando el "m/2" hacia el otro lado nos quedaría lo siguiente:



Por lo que si simplificamos (extrayendo el 4 bajo raíz que equivale a 2) situando cada elemento bajo un común denominador, nos resulta:



Esto equivale a nuestro resultado buscado ya que debemos volver a nuestras variables originales que eran "b/a" como "m" y "c/a" como "n":



Simple, ¿no?

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