20.3.13

¿Por qué √2 es Irracional?

Últimamente he estado leyendo varios libros sobre matemáticas. Y es que los números son tan especiales que su implicancia en la vida de cada uno puede llegar a asombrar. Siempre he dicho que "los números es el lenguaje de Dios", y conociéndolos uno puede alcanzar el máximo conocimiento. Por tanto el desafío está presente bajo este concepto.

Desde que comenzamos con la "educación tradicional", nos han inculcado los diferentes grupos numéricos tales como los Naturales, los Enteros, los Racionales, los Irracionales y los Reales. Los números Irracionales son sin duda los más difíciles de asimilar debido a que no se pueden escribir sin usar aproximaciones, tales como el número π o √2. ¿Pero cómo lograron identificar que estos números clasificaban dentro de este "nuevo grupo"? La respuesta es más sencilla de lo que parece.

Los números irracionales son los que no pueden ser expresados como una fracción p/q, donde p y q son números enteros, con q diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Por lo tanto, si √2 es un número irracional no se puede escribir como p/q

Para demostrar que esto es verdad, supongamos que es falso (o sea que es un número racional) y lleguemos a una contradicción. Esta forma de demostración es típica en matemáticas y seguramente la han visto en libros y ejercicios relacionados. Por tanto, supongamos que √2 es un número racional, lo que indica que se puede escribir de la forma p/q.

Suponemos que esta fracción es irreducible, por tanto los números p y q no tienen factores comunes. De esta forma, si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, tenemos lo siguiente:

 
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Si sustituímos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos por 2 resulta lo siguiente:

 
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Sin embargo, se había supuesto que p y q no tenían factores comunes ya que era una fracción irreducible y hemos llegado a que los dos números son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común. Esto produce una contradicción por lo que nuestro supuesto original marcado en rojo es falso.

Concluimos de esta forma que √2 es un número irracional.

1 comentario:

Anita dijo...

Qué interesante! Sigues haciendo críticas de cine? Saludos desde HD